På et eller andet tidspunkt i dit liv har du måske måttet lave en række faste betalinger over en periode - f.eks. Leje eller bilbetalinger - eller har modtaget en række betalinger over en periode af tid, såsom obligationskuponer. Disse kaldes livrenter. Hvis du forstår tidsværdien af ​​penge, er du klar til at lære om annuiteter og hvordan deres nuværende og fremtidige værdier beregnes.

Hvad er annuiteter?

Annuiteter er i det væsentlige en række faste betalinger, der kræves fra dig eller betales til dig, med en bestemt frekvens i løbet af en fast periode. De mest almindelige betalingsfrekvenser er årlige, halvårlig (to gange om året), kvartalsvis og månedligt. Der er to grundlæggende typer af livrenter: almindelige annuiteter og annuiteter på grund.

• Almindelig livrente: Betalinger er påkrævet ved udgangen af ​​hver periode. For eksempel betaler straight bonds normalt kuponbetalinger ved udgangen af ​​hvert halve år indtil obligationernes løbetid.
• Annuitet skyldes: Betalinger er påkrævet i begyndelsen af ​​hver periode. Leje er et eksempel på annuitet på grund. Du er normalt forpligtet til at betale husleje, når du først bevæger dig ind i begyndelsen af ​​måneden og derefter den første af hver måned derefter.

Da de nuværende og fremtidige værdiberegninger for almindelige annuiteter - og forfaldne annuiteter er lidt anderledes - vil vi først diskutere den nuværende og fremtidige værdiberegning for almindelige annuiteter.

Beregning af den fremtidige værdi af en almindelig livrente

Hvis du ved, hvor meget du kan investere per periode i en bestemt periode, er den fremtidige værdi (FV) for en almindelig annuitetsformel nyttig for at finde ud af, hvor meget du ville har i fremtiden ved at investere til din givne rentesats. Hvis du foretager betalinger på et lån, er den fremtidige værdi nyttig til at bestemme de samlede omkostninger ved lånet.

Lad os nu løbe gennem eksempel 1. Overvej følgende annuitetsbaserede pengestrømskema:

For at beregne den fremtidige værdi af annuiteten skal vi beregne den fremtidige værdi af hver pengestrøm. Lad os antage, at du modtager $ 1, 000 hvert år i de næste fem år, og du investerede hver betaling på 5%. Følgende diagram viser, hvor meget du ville have ved udgangen af ​​femårsperioden:

Da vi skal tilføje den fremtidige værdi af hver betaling, har du muligvis bemærket, at hvis du har en almindelig livrente med mange pengestrømme, det vil tage lang tid at beregne alle fremtidige værdier og derefter tilføje dem sammen. Heldigvis giver matematik en formel, der tjener som en genvej til at finde den akkumulerede værdi af alle pengestrømme modtaget fra en almindelig livrente:

hvor C = Pengestrøm per periode i = rentesats n = antal betalinger

Brug af ovenstående formel til eksempel 1 ovenfor er dette resultatet:

= $ 1000 * [5.53] = $ 5525. 63

Bemærk, at 1 cent forskellen mellem $ 5, 525. 64 og $ 5, 525. 63 skyldes en afrundingsfejl i den første beregning. Hver værdi af den første beregning skal afrundes til nærmeste øre - jo mere du skal runde tal i en beregning, desto mere sandsynlige afrundingsfejl vil forekomme. Således giver ovenstående formel ikke kun en genvej til at finde FV af en almindelig livrente, men giver også et mere præcist resultat.

Beregning af nutidsværdien af ​​en almindelig livrente

Hvis du ønsker at bestemme nutidens værdi af en fremtidig betalingsserie, skal du bruge den formel, der beregner nutidsværdien (PV) for en almindelig annuitet. Dette er den formel, du vil bruge som en del af en obligationsprisberegning. PV af en almindelig livrente beregner nutidsværdien af ​​de kuponbetalinger, du vil modtage i fremtiden.

I eksempel 2 bruger vi den samme annuitetsbaserede pengestrømsschema som vi gjorde i eksempel 1. For at opnå den samlede diskonterede værdi skal vi tage nutidsværdien af ​​hver fremtidig betaling, og som vi gjorde i eksempel 1 , tilføj pengestrømme sammen.

Igen vil beregning og tilføjelse af alle disse værdier tage lang tid, især hvis vi forventer mange fremtidige betalinger. Som sådan kan vi bruge en matematisk genvej til PV af en almindelig livrente.

hvor C = Pengestrøm pr. Periode i = rente n = antal betalinger

Formlen giver os PV i nogle få nemme trin. Her er beregningen af ​​annuiteten repræsenteret i diagrammet for eksempel 2:

= $ 1000 * [4. 33] = $ 4329. 48

Beregning af fremtidens værdi for en annuitet grundet

Når du modtager eller betaler kontantstrømme for en annuitet, skyldes din cash flow-skema som følger:

Siden hver betaling i serien er lavet en periode før, skal vi rabat formlen en periode tilbage. En lille ændring af FV-of-a-ordinary-annuity-formlen tegner sig for betalinger, der indtræder i begyndelsen af ​​hver periode. I eksempel 3, lad os illustrere, hvorfor denne ændring er nødvendig, når hver $ 1 000 betaling sker i begyndelsen af ​​perioden frem for ved udgangen (renten er stadig 5%):

Bemærk, at når betalinger foretages på I begyndelsen af ​​perioden holdes hvert beløb længere i slutningen af ​​perioden. F.eks. Hvis $ 1, 000 blev investeret 1. januar frem til 31. december hvert år, ville den sidste betaling før vi vurderede vores investering i slutningen af ​​fem år (den 31. december) have været foretaget et år tidligere (1. januar) snarere end den samme dag, som den er værdsat. Den fremtidige værdi af annuitetsformlen vil så læses:

hvor C = Pengestrøm pr. Periode i = rente n = antal betalinger

Derfor

= $ 1000 * 5. 53 * 1. 05 = $ 5801. 91

Beregning af nutidsværdien af ​​en annuitetsforfaldsdato

For nutidsværdien af ​​en annuitetsberettiget formel skal vi rabat formlen en periode fremad, da betalingerne holdes i kortere tid. Ved beregning af nutidsværdien antager vi, at den første betaling blev foretaget i dag.

Vi kunne bruge denne formel til at beregne nutidsværdien af ​​dine fremtidige lejebetalinger som angivet i en lejekontrakt, du underskriver med din udlejer. Lad os sige for eksempel 4, at du foretager din første lejebetaling i begyndelsen af ​​måneden og vurderer nutidsværdien af ​​din fem måneders lejemål samme dag. Din nutidsværdiberegning ville fungere som følger:

Selvfølgelig kan vi bruge en formelgenvej til at beregne nutidsværdien af ​​en annuitet på grund af:

hvor C = Pengestrøm pr. Periode i = rentesats > n = antal betalinger Derfor

= $ 1000 * 4. 33 * 1. 05

= $ 4545. 95 Husk, at nutidsværdien af ​​en almindelig livrente returnerede en værdi på $ 4, 329. 48. Nutidsværdien af ​​en almindelig livrente er mindre end den for en annuitet, der skyldes, fordi den yderligere tilbage vi rabat en fremtidig betaling, jo lavere nutidsværdien - hver betaling eller kontantstrøm i en almindelig livrente indtræder en periode længere ind i fremtiden.

Den nederste linje

Nu kan du se, hvordan annuiteter påvirker, hvordan du beregner nutidsværdien og den fremtidige værdi af et hvilket som helst beløb. Husk, at betalingsfrekvenserne, antallet af betalinger og det tidspunkt, hvor disse betalinger foretages (hverken i begyndelsen eller slutningen af ​​hver betalingsperiode) er alle variabler, du skal regne med i dine beregninger.