Fra januar 2015, IBM IBMInternational Business Machines Corp151. 58-1. 15% Oprettet med Highstock 4. 2. 6 Aktien handler på $ 155, og du forventer, at den går højere i det næste år. Du har til hensigt at købe en opkaldsopsætning på IBM-aktierne med en ATM-kurs på $ 155, som forventer at drage fordel af en høj procentuel afkast baseret på en lille optionsomkostning (optionspræmie) i forhold til køb af aktier med en høj købspris. Hvad skal være dagsværdien af ​​denne opkaldsopsætning på IBM? (for relateret læsning henvises til Tre måder at profit ved hjælp af opkaldsindstillinger )

I dag er der et par forskellige færdigfremstillede metoder til rådighed for værdioptioner - herunder Black-Scholes-modellen og binomial-træmodellen - som kan give hurtige svar. Men hvad er de underliggende faktorer og de drivende begreber for at komme frem til sådanne værdiansættelsesmodeller? Kan noget lignende være forberedt, baseret på begrebet disse modeller?

Her dækker vi byggestenene, de underliggende begreber og de faktorer, der kan bruges som rammer for at opbygge en værdiansættelsesmodel for et aktiv, såsom valgmuligheder, hvilket giver en side om side sammenligning med oprindelsen af ​​Black- Scholes (BS) model (for yderligere læsning, se Valgpris: Black-Scholes Model ).

Denne artikel har ikke til hensigt at udfordre antagelserne eller andre faktorer i BS-modellen (som er et andet emne i det hele taget); Det har snarere til formål at forklare det underliggende koncept for Black-Scholes-modellen sammen med ideen om værdiansættelse af modeludvikling.

Verden før Black-Scholes

Før Black-Scholes blev den ligevægt baserede kapitalaktiver prismodel (CAPM) bredt fulgt. Afkast og risici var afbalanceret med hinanden, baseret på investorens præference, jeg. e. en højrisikooptager investor forventes at blive kompenseret med (potentialet for) højere afkast i en tilsvarende andel.

BS-modellen finder sine rødder i CAPM. Ifølge Fisher Black, " Jeg anvendte kapitalaktiver prismodellen til ethvert øjeblik i en warrant, for hver mulig aktiekurs og warrant værdi ".

CAPM kunne desværre ikke opfylde kravet om warrant (option) prissætning.

Black-Scholes er den første model, der er baseret på begrebet arbitrage, hvilket gør et paradigmeskift fra risikobaserede modeller (som CAPM). Denne nye BS-modeludvikling erstattede CAPM-aktieafkastskonceptet med anerkendelse af, at en perfekt sikret position vil tjene en risikofri rente. Dette tog højde for risikoen og afkastvariationerne og etablerede begrebet arbitrage, hvor værdiansættelser udføres på forudsætninger om risiko-neutralt koncept. En sikret (risikofri) stilling skal føre til en risikofri afkast.

Udviklingen af ​​prismodellen (Black-Scholes)

Lad os starte med at etablere problemet, kvantificere det og udvikle en ramme for sin løsning. Vi fortsætter med vores eksempel på værdiansættelse af ATM call option på IBM med en stykpris på $ 155 med et år til udløb.

På basis af den grundlæggende definition af en call option, medmindre aktiekursen rammer strike-prisniveauet, forbliver udbetalingen nul. Post det niveau øges udbetalingen lineært (dvs. en stigning på 1 dollar i den underliggende vil give en dollarudbetaling fra opkaldsopsættelsen).

Forudsat at køber og sælger er enige om fair værdiansættelse (inklusive nulpris), vil den teoretiske fair pris for denne opkaldsopsætning (for relateret læsning henvises til Forstå prisfastsættelse ) være: > Opkaldsoptionspris = $ 0, hvis underliggende

• Opkaldsoptionspris = (underliggende strejke), hvis underliggende> = strejke (blå graf)
• Dette repræsenterer egenværdien af ​​indstillingen og ser perfekt ud fra et købsoptionskøbers synspunkt. I den røde region har både køber og sælger en retfærdig værdiansættelse (nulpris til sælger, nul udbetaling til køber). Imidlertid begynder vurderingsudfordringen med den blå region, da køberen har fordelen af ​​en positiv udbetaling, mens sælgeren lider tab (forudsat at den underliggende pris overstiger strike-prisen). Det er her køberen har en fordel over sælgeren med nulpris. Prissætning skal være ikke-nul for at kompensere sælgeren for den risiko, han tager.

I det forrige tilfælde (rød graf) er teoretisk set nulprisen modtaget af sælgeren, og der er nul udbetalingspotentiale for køberen (rimeligt til begge). I sidstnævnte tilfælde (blå graf) skal differencen mellem det underliggende og strejken betales af sælgeren til køberen. Sælgers risiko spænder over hele et varigheds varighed. For eksempel kan den underliggende aktiekurs bevæge sig meget høj (sige til $ 200 om fire måneder), og sælgeren skal betale køberen differencen på $ 45.

Således koges det ned til:

Vil prisen for det underliggende overstige strike-prisen?

1. Hvis det gør, hvor højt kan den underliggende pris gå (som det vil bestemme udbetalingen til køberen)?
2. Dette angiver den store risiko, som sælgeren tager, hvilket fører til spørgsmålet - hvorfor ville nogen sælge et sådant opkald, hvis de ikke får noget for den risiko, de tager?

Vores mål er at nå frem til en enkelt pris, som sælgeren skal opkræve køberen, som kan kompensere ham for den samlede risiko, han tager over et års tid - både i nulbetalingsregionen (rød) og den lineære betaling region (blå). Prisen skal være retfærdig og acceptabel for både køber og sælger. I modsat fald vil den, der har en ulempe med hensyn til at betale eller modtage uretfærdig pris, ikke deltage i markedet og dermed besejre formålet med handelsvirksomheden. Black-Scholes-modellen sigter mod at fastslå denne rimelige pris ved at overveje konstant prisændring af bestanden, tidens værdi af penge, optionens kurspris og tidspunktet for opsættelsens udløb.Ligner på BS-modellen, lad os se, hvordan vi kan henvende os til at evaluere dette for vores eksempel ved hjælp af vores egne metoder.

Hvordan man vurderer egenværdi i blå region?

Der er et par metoder til at forudsige den forventede prisbevægelse i fremtiden i en given tidsramme:

Man kan analysere tilsvarende prisbevægelser af samme varighed i den seneste tid. Den historiske IBM-slutkurs indikerer, at prisen i løbet af det sidste år (2. januar 2014 til 31. december 2014) faldt til 160 dollar. 44 fra $ 185. 53, et fald på 13,5%. Kan vi konkludere en -13. 5% prisbevægelse til IBM?

• En yderligere detaljeret kontrol viser, at den berørte en årlig høj på $ 199. 21 (den 10. april 2014) og en årlig lav på $ 150. 5 (16. december 2014). Baserer disse på startdagen den 2. januar 2014 og slutkursen på $ 185. 53, varierer procentandelen fra +7. 37% til -18. 88%. Nu ser variationsområdet langt større ud i forhold til det tidligere beregnede fald på 13,5%.
• Lignende analyser og observationer om historiske data kan videreføres. For at fortsætte vores prismodeludvikling, lad os antage denne enkle metode til at måle fremtidige prisvariationer.

Antag at IBM stiger 10% hvert år (baseret på de seneste 20 års historiske data). Grundlæggende statistikker viser, at sandsynligheden for, at IBM-aktiekursændringen svæver omkring + 10%, vil være meget højere end sandsynligheden for, at IBM-prisen stiger 20% eller faldende 30%, forudsat at historiske mønstre gentages. Indsamling af lignende historiske datapunkter med sandsynlighedsværdier kan et samlet forventet afkast af IBMs aktiekurs i et års tidsramme beregnes som et vægtet gennemsnit af sandsynligheder og tilhørende afkast. Antag, at IBMs historiske prisdata angiver følgende træk:

(- 10%) 25% af tiderne,

• + 10% 35% af tiderne,
• + 15% 20% af gange,
• + 20% ti procent gange,
• + 25% fem procent gange og
• (- 15%) fem procent gange.
• Således kommer det vejede gennemsnit (eller den forventede værdi) til:

(- 10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5 % - 15% * 5%) / 100% =
6. 5% i. e. I gennemsnit forventes prisen på IBM-aktierne at returnere +6. 5% på et års tid for hver dollar. Hvis nogen køber IBM-aktierne med en årshorisont og en købspris på $ 155, kan man forvente et netto afkast på 155 * 6. 5% = $ 10. 075.
Dette er dog for aktieafkastet. Vi skal søge lignende forventede afkast for opkaldsopsætningen.

Baseret på nul udbetaling af kaldet under strike-prisen (eksisterende $ 155 - ATM-opkald) vil alle negative træk generere nul udbetalinger, mens alle positive træk over strike-prisen vil generere tilsvarende udbetaling. Det forventede afkast for opkaldsopsætningen vil således være:

(

-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5 % - 0 % * 5%) / 100% = 9. 75% i. e. For hver $ 100 investeret i at købe denne mulighed, kan man forvente 9 dollars. 75 (baseret på ovenstående antagelser).

Dette forbliver imidlertid begrænset til den retfærdige værdiansættelse af den egentlige mængde option og tager ikke korrekt op på den risiko, som optionsselskabet bærer for de høje svingninger, der kan forekomme i mellemtiden (i tilfælde af ovennævnte intrayear høje og lave priser).Ud over den egentlige værdi, hvilken pris kan aftales af køber og sælger, så sælgeren er ret kompenseret for den risiko, han tager over et års tidsramme?

Disse svingninger kan variere meget, og sælgeren kan have sin egen fortolkning af, hvor meget han ønsker at blive kompenseret for det. Black-Scholes-modellen forudsætter europæiske typer muligheder, jeg. e. ingen øvelse før udløbsdatoen. Således forbliver det upåvirket af mellemliggende prisudsving og baserer sin værdiansættelse på end-to-end handelsdage.

I realtidshandel spiller denne volatilitet en vigtig rolle ved fastsættelsen af ​​optionspriser. Den blå udbetalingsfunktion, som vi almindeligvis ser, er faktisk udbetalingen ved udløbsdatoen. Realistisk er opsætningsprisen (lyserød graf) altid højere end udbetalingen (blå graf), hvilket angiver den pris, som sælgeren har taget for at kompensere for hans risikotagende evner. Derfor er optionsprisen også kendt som optionen "præmie" - hvilket i det væsentlige angiver risikopræmien.

Dette kan indgå i vores værdiansættelsesmodel, afhængigt af hvor meget volatilitet forventes i aktiekursen og hvor meget forventet værdi der ville give.

Black-Scholes-modellen gør det effektivt (selvfølgelig inden for sine egne antagelser) som følger:

BS-modellen forudsætter lognormal fordeling af aktiekursbevægelser, hvilket berettiger brugen af ​​N (d1) og N (d2 ).

I den første del angiver S den nuværende pris på lageret.

N (d1) angiver sandsynligheden for den aktuelle prisbevægelse på lager.
Hvis denne mulighed går in-the-money, så køberen kan udnytte denne mulighed, vil han få en andel af den underliggende IBM-aktie. Hvis erhvervsdrivende udøver det i dag, repræsenterer S * N (d1) dagens forventede værdi af optionen.

I anden del angiver X, at strike-prisen er gældende.

N (d2) repræsenterer sandsynligheden for, at aktiekursen er over strike-prisen.

Så X * N (d2) repræsenterer den forventede værdi af aktiekursen tilbage
over strike-prisen. Da Black-Scholes-modellen antager europæisk stilindstillinger, hvor træning kun er mulig i slutningen, bør den forventede værdi repræsenteret ovenfor af X * N (d2) diskonteres for tidsværdien af ​​penge. Derfor bliver det sidste afsnit multipliceret med eksponentielt udtryk hævet til rentesatsen over tidsperioden.

Nettoforskellen mellem de to udtryk angiver prisværdien af ​​optionen i dag (hvor den anden sigt er diskonteret)

I vores ramme kan sådanne prisbevægelser mere præcist inkluderes på flere måder:

Forbedring af forventede returberegninger ved at udvide området til finere intervaller for at inkludere intradag / intrayear-prisbevægelser

• Inklusion af nutidens markedsdata, da den afspejler den aktuelle dagsaktivitet (svarende til den implicitte volatilitet)
• Forventet afkast ved udløb dato, som kan diskonteres tilbage til i dag for realistiske værdiansættelser og yderligere reduceret fra nutidsværdien
• Således ser vi, at der ikke er nogen grænse for antagelser, metoder og tilpasning, som skal vælges til kvantitativ analyse.Afhængigt af det aktiv, der skal omsættes eller investeringer, der skal overvejes, kan der arbejdes på en selvudviklet model. Det er vigtigt at bemærke, at volatiliteten i prisbevægelser i forskellige aktivklasser varierer meget - aktier har volatilitet skew, forex har volatilitet rynket - og brugerne bør inkorporere de anvendte volatilitetsmønstre i deres modeller. Forudsætninger og ulemper er en integreret del af enhver model og kyndig anvendelse af modeller i real-world handelsscenarier kan give bedre resultater. (for relateret læsning, se

En simpel oversigt over kvantitativ analyse ) Bundlinjen

Med komplekse aktiver, der går ind på markederne eller endda almindelige vaniljeaktiver kommer ind i komplekse former for handel, kvantitativ modellering og analyse bliver obligatorisk for værdiansættelse. Desværre kommer ingen matematisk model uden et sæt ulemper og antagelser. Den bedste tilgang er at holde antagelserne til et minimum og være opmærksom på de underforståede ulemper, som kan hjælpe med at tegne linjerne om brug og anvendelighed af modellerne.