Den normale (Bell Curve) Distribution

Datasæt (som højde på 100 mennesker, karakterer opnået af 45 elever i en klasse osv.) Har en tendens til at have mange værdier på samme datapunkt eller inden for samme område. Denne fordeling af datapunkter kaldes normal eller bellkurvefordeling. For eksempel kan i en gruppe på 100 personer 10 være under 5 meter høje, 65 kan ligge mellem 5 og 5, 5 fod og 25 kan være over 5,5 fod. Denne interval-bundne fordeling kan tegnes som følger:

AD:

På samme måde kan datapunkter tegnet i grafer for et givet datasæt ligner forskellige typer af distributioner. Tre af de mest almindelige er venstrejusteret, ligejusteret og jumbled distributioner:

Bemærk den røde trendlinie i hver af disse grafer. Dette angiver groft dataudviklingen. Den første, "LEFT Aligned Distribution", indikerer, at størstedelen af ​​datapunkterne falder i det nederste område. I anden grafik "RIGHT Aligned Distribution" falder hovedparten af ​​datapunkter i den højere ende af intervallet, mens den sidste "Jumbled Distribution" repræsenterer et blandet datasæt uden nogen klar trend.

AD:

Der er mange tilfælde, hvor fordelingen af ​​datapunkter har tendens til at ligge omkring en central værdi, og den graf viser en perfekt normalfordeling, lige så afbalanceret på begge sider med det højeste antal datapunkter koncentreret i midten.

Her er et perfekt, normalt distribueret datasæt.

Den centrale værdi her er 50, som har flest datapunkter, og fordelingen afviger ensartet i retning af ekstreme slutværdier på 0 og 100, som har det færre antal datapunkter. Den normale fordeling er symmetrisk omkring den centrale værdi med halvdelen af ​​værdierne på hver side.

AD:

Mange eksempler på virkelige liv passer til bellkurvefordelingen:

• Skyd en retfærdig mønt mange gange (sige 100 gange eller mere), og du får en afbalanceret normal fordeling af hoveder og haler.
• Rul et par fair terninger mange gange (sige 100 gange eller mere), og resultatet vil være en afbalanceret normalfordeling centreret omkring nummer 7 og ensartet aftagende mod ekstreme værdier på 2 og 12.
• Den højden af ​​personer i en gruppe af betydelig størrelse og mærker opnået af personer i en klasse følger begge normale distributionsmønstre.
• I økonomi antages det, at ændringer i logværdierneaf Forex-satser, prisindekser og aktiekurser normalt fordeles.

Forholdet til finansiering og investeringer

Enhver investering har to aspekter: risiko og afkast. Investorer søger den lavest mulige risiko for højest mulige afkast. Den normale fordeling kvantificerer disse to aspekter med gennemsnittet for afkast og standardafvigelse for risiko.(For mere, se: Mean-Variance Analysis .)

Mean eller Forventet værdi

En bestemt aktiens prisændring kan være 1. 5% på daglig basis - hvilket betyder, at det i gennemsnit stiger med 1,5%. Denne gennemsnitlige værdi eller forventede værdiangivende retur kan nås ved at beregne gennemsnittet på et stort nok datasæt indeholdende historiske daglige prisændringer af den pågældende bestand. Jo højere den gennemsnitlige, jo bedre.

Standardafvigelse

Standardafvigelse angiver det beløb, hvormed værdier afviger i gennemsnit fra middelværdien. Jo højere standardafvigelsen er, desto mere risikobetonede investeringen er, da det fører til større usikkerhed.

Her er en grafisk gengivelse af det samme:

Den grafiske repræsentation af normalfordeling gennem dens gennemsnitlige og standardafvigelse gør det muligt at repræsentere både afkast og risiko inden for et klart defineret område.

Det hjælper med at vide (og være sikker med sikkerhed), at hvis noget datasæt følger det normale distributionsmønster, vil dets gennemsnit gøre det muligt for os at vide, hvad der vender tilbage til at forvente, og dets standardafvigelse vil gøre det muligt for os at vide, at omkring 68% af værdierne ligger inden for 1 standardafvigelse, 95% inden for 2 standardafvigelser og 99% af værdierne falder inden for 3 standardafvigelser. Et datasæt, som har en værdi på 1, og en standardafvigelse på 1, er meget risikabelere end et andet datasæt med et gennemsnit på 1. 5 og standardafvigelsen på 0. 1.

At kende disse værdier for hvert valgt aktiv (dvs. aktier, obligationer og fonde) vil gøre en investor opmærksom på de forventede afkast og risici.

Det er let at anvende dette koncept og repræsenterer risikoen og afkastet på en enkelt aktie, obligation eller fond, men kan dette udvides til en portefølje af flere aktiver?

Personer begynder at handle ved at købe en enkelt aktie eller obligation eller investere i en fond. Gradvis har de en tendens til at øge deres beholdninger og købe flere aktier, fonde eller andre aktiver og derved skabe en portefølje. I dette trinvise scenario bygger enkeltpersoner deres porteføljer uden en strategi eller meget forethought. Professionelle fondsledere, handlende og markedsførere følger en systematisk metode til at opbygge deres portefølje ved hjælp af en matematisk tilgang kaldet moderne portefølje teori (MPT), der er baseret på begrebet "normal distribution". "

Moderne portefølje teori

Moderne portefølje teori tilbyder en systematisk matematisk tilgang, der sigter mod at maksimere porteføljens forventede afkast for en given mængde portefølje risiko ved at vælge proportioner af forskellige aktiver. Alternativt tilbyder det også at minimere risikoen for et givet niveau af forventet afkast.

For at nå dette mål bør de aktiver, der indgår i porteføljen, ikke udvælges udelukkende ud fra deres egen individuelle fortjeneste, men i stedet for, hvordan hvert aktiv vil udføre i forhold til de øvrige aktiver i porteføljen.

I en nøddeskal definerer MPT, hvordan man bedst opnår porteføljediversificering for de bedst mulige resultater: Maksimal afkast for et acceptabelt risikoniveau eller minimal risiko for et ønsket niveau for afkast.

Building Blocks

MPT var et så revolutionerende koncept, da det blev indført, at dets opfindere vandt en nobelpris. Denne teori leverede med succes en matematisk formel til styring af diversificering i investering.

Diversificering er en risikostyringsteknik, der fjerner risikoen for "alle æg i en kurv" ved at investere i ikke-korrelerede aktier, sektorer eller aktivklasser. Ideelt set vil det positive resultat af et aktiv i porteføljen annullere de negative aktiver for andre aktiver.

For at tage det gennemsnitlige afkast af porteføljen, der har n forskellige aktiver, beregnes den forholdsmæssige vægtning af de samlede aktiveres afkast. På grund af karakteren af ​​statistiske beregninger og normalfordeling beregnes den samlede porteføljeafkast (R _p ) som:

summen (Σ) hvor w _i er forholdsmæssig vægt af aktiv i i porteføljen, R _i er afkastet (middelværdien) af aktivet i.

Porteføllerisikoen (eller standardafvigelsen) er en funktion af sammenhænge af de medregnede aktiver for alle aktivpar (i forhold til hinanden i parret). På grund af karakteren af ​​statistiske beregninger og normalfordeling beregnes den samlede porteføljerisiko (Std-dev) _p som:

hvor korrelation er korrelationskoefficienten mellem returnering af aktiver i og j, og sqrt er kvadratroten.

Dette tager sig af det relative resultat af hvert aktiv i forhold til det andet.

Selv om det forekommer matematisk komplekst, omfatter det simple koncept, der anvendes her, ikke kun standardafvigelserne for de enkelte aktiver, men også de relaterede i forhold til hinanden.

Et godt eksempel er tilgængeligt her fra University of Washington.

Et hurtigt eksempel

Lad os forestille os, at vi er en porteføljeforvalter, der har fået kapital og har til opgave at opdele, hvor meget kapital der skal tildeles to tilgængelige aktiver (A & B), så det forventes Retur er maksimalt, og risikoen er lavest.

Vi har også følgende værdier:

R _a = 0. 175

R _b = 0. 055

(Std-dev) < a _{= 0. 258} (Std-dev)

b _{= 0. 115} (Std-dev)

ab _{= -0. 004875} (Cor-cof)

ab _{= -0. 164} Beregner R

p _{med 50-50 tildeling til hvert aktiv A & B til 0. 115 og (Std-dev)} p _{kommer til 0. 1323 . En simpel sammenligning fortæller os, at for denne 2 aktivportefølje er afkast såvel som risiko midtvejs mellem de enkelte værdier af hvert aktiv.} Men vores mål er at forbedre afkastet af porteføljen ud over blot gennemsnittet af det enkelte aktiv og reducere risikoen, så den er lavere end den for de enkelte aktiver.

Lad os nu tage en 1. 5 kapitalfordelingsposition i aktiv A, og a -0. 5 kapitalfordelingsposition i aktiv B. (Negativ kapitalallokering betyder kortslutning af, at aktiekapital og -kapital, der modtages, bruges til at købe overskuddet af andet aktiv med positiv kapitaltildeling. Med andre ord forkortes aktie B for 0.5 gange med kapital og bruge disse penge til at købe lager A for beløb 1. 5 gange kapital.)

Ved hjælp af disse værdier får vi R

p _{som 0. 1604 og (Std-dev) < p} som 0. 4005. _{På samme måde kan vi fortsætte med at bruge forskellige tildelingsvægte til aktiv A & B og ankomme til forskellige sæt Rp og (Std-dev) p. I henhold til det ønskede afkast (Rp) kan man vælge det bedst acceptable risikoniveau (std-dev) p. Alternativt kan man, for et ønsket risikoniveau, vælge den bedste tilgængelige porteføljeafkast. Under alle omstændigheder er det gennem denne matematiske model af portefølje teori muligt at nå målet om at skabe en effektiv portefølje med den ønskede risiko- og returkombination.} Brugen af ​​automatiserede værktøjer gør det nemt for enkelt og smidigt at opdage de bedst mulige tildelte proportioner uden behov for lange manuelle beregninger.

Den effektive grænse, Capital Asset Pricing Model (CAPM) og aktivprissætning ved hjælp af MPT udvikler sig også fra den samme normale distributionsmodel og er en udvidelse til MPT.

Udfordringerne til MPT (og underliggende Normalfordeling):

Desværre er ingen matematisk model perfekt, og hver har utilstrækkeligheder og begrænsninger.

Den grundlæggende antagelse om, at aktiekursafkastet følger den normale fordeling selv, stilles spørgsmålstegn ved gang på gang. Der er tilstrækkeligt empirisk bevis på tilfælde, hvor værdier ikke overholder den antagne normale fordeling. At basere komplekse modeller på sådanne forudsætninger kan føre til resultater med store afvigelser.

For at gå videre ind i MPT, kan beregningerne og antagelserne om korrelationskoefficient og kovarians tilbageholdte faste (baseret på historiske data) ikke nødvendigvis være gældende for fremtidige forventede værdier. For eksempel viste obligations- og aktiemarkederne perfekt korrelation i det britiske marked i 2001 til 2004, hvor afkastet fra begge aktiver faldt samtidigt. I virkeligheden er omvendt blevet observeret i lange historiske perioder før 2001.

Investoradfærd tages ikke i betragtning i denne matematiske model. Skatter og transaktionsomkostninger forsømmes, selvom det er antaget, at bruttoallokering og muligheden for at kortlægge aktiver.

I virkeligheden kan ingen af ​​disse antagelser være sandt, hvilket betyder, at realiseret finansielt afkast kan afvige væsentligt fra det forventede overskud.

Den nederste linje:

Matematiske modeller giver en god mekanisme til at kvantificere nogle variabler med enkelt sporbare tal. Men på grund af begrænsningerne i antagelser kan modellerne mislykkes. Normal Distribution, som danner grundlaget for Portfolio Theory, kan ikke nødvendigvis gælde for aktier og andre finansielle aktivers prismønstre. Portefølje teori har i sig selv mange antagelser, som bør undersøges kritisk, inden der træffes vigtige økonomiske beslutninger.