En af de mest almindelige måder at estimere risiko på er brugen af ​​en Monte Carlo-simulering (MCS). For eksempel til beregning af værdien ved risiko (VaR) i en portefølje kan vi køre en Monte Carlo-simulering, der forsøger at forudsige det værste sandsynlige tab for en portefølje givet et konfidensinterval over en bestemt tidshorisont - vi skal altid angive to betingelser for VaR: tillid og horisont. (For relateret læsning, se Volatilitetens anvendelser og begrænsninger og Introduktion til Value at Risk (VAR) - Del 1 og Del 2 .)

I denne artikel vil vi gennemgå en grundlæggende MCS anvendt til en aktiekurs. Vi har brug for en model til at angive opførelsen af ​​aktiekursen, og vi vil bruge en af ​​de mest almindelige modeller inden for finansiering: geometrisk brunisk bevægelse (GBM). Derfor, mens Monte Carlo-simulering kan henvise til et univers af forskellige tilgange til simulering, starter vi her med de mest grundlæggende.

Hvor skal man starte? En Monte Carlo-simulering er et forsøg på at forudsige fremtiden mange gange. I slutningen af ​​simuleringen producerer tusinder eller millioner af "tilfældige forsøg" en fordeling af resultater, der kan analyseres. Grundlæggende trin er:

1. Angiv en model (f.eks. Geometrisk brunisk bevægelse)
2. Generer tilfældige forsøg
3. Behandle output

1. Angiv en model (f.eks. GBM)
I denne artikel bruger vi den geometriske Brownian Motion (GBM), som teknisk set er en Markov-proces. Det betyder, at aktiekursen følger en tilfældig gang og er i overensstemmelse med (i det mindste) den svage form for den effektive markedshypothese (EMH): Tidligere prisoplysninger er allerede indarbejdet, og den næste prisbevægelse er "betingelsesmæssigt uafhængig" af fortiden prisbevægelser. (For mere om EMH læs Arbejd gennem den effektive markedshypotes og Hvad er markedseffektivitet? )

Formlen for GBM findes nedenfor, hvor "S" er aktiekursen "m" (den græske mu) er det forventede afkast, "s" (græsk sigma) er standardafvigelsen af returneringer, "t" er tid og "e" (græsk epsilon) er tilfældig variabel:

Hvis vi omarrangerer formlen til at løse bare for ændringen i aktiekursen, ser vi, at GMB siger ændringen i aktiekursen er aktiekursen "S" multipliceret med de to udtryk, der findes inden for parentesen nedenfor:

Det første udtryk er en "drift", og det andet udtryk er et "shock". For hver tidsperiode antager vores model prisen "drift" op af det forventede afkast. Men driften bliver chokeret (tilføjet eller subtraheret) ved et tilfældigt chok. Den tilfældige chok vil være standardafvigelsen "s" multipliceret med et tilfældigt tal "e". Dette er simpelthen en måde at skalere standardafvigelsen på.

Det er kernen i GBM, som illustreret i Figur 1. Aktiekursen følger en række trin, hvor hvert trin er et drift plus / minus et tilfældigt chok (i sig selv en funktion af bestandens standardafvigelse): > Figur 1

2.Generer tilfældige forsøg

Bevæbnet med en modelspecifikation, så fortsætter vi med at køre tilfældige forsøg. For at illustrere, har vi brugt Microsoft Excel til at køre 40 forsøg. Husk på, at dette er en urealistisk lille prøve; de fleste simuleringer eller "sims" kører mindst flere tusinde forsøg. Lad os antage, at bestanden begynder på dag nul med en pris på $ 10. Her er et diagram over resultatet hvor hver gangs trin (eller interval) er en dag, og serien løber i ti dage (i sammendrag: 40 forsøg med daglige trin over ti dage):

Figur 2: Geometrisk Brownian Motion > Resultatet er 40 simulerede aktiekurser i slutningen af ​​10 dage. Der er ikke sket noget under $ 9, og en er over $ 11.

3. Process Output

Simulationen gav en fordeling af hypotetiske fremtidige resultater. Vi kunne gøre flere ting med output. Hvis vi for eksempel ønsker at estimere VaR med 95% tillid, så er vi kun nødt til at finde det trediveogtredende resultat (det tredje værste resultat). Det skyldes, at 2/40 svarer til 5%, så de to værste resultater er i de laveste 5%.

Hvis vi sætter de viste resultater i bakker (hver bin er en tredjedel af $ 1, så tre bakker dækker intervallet fra $ 9 til $ 10), får vi følgende histogram: Figur 3

Husk at vores GBM-model forudsætter normalitet: Prisafkast fordeles normalt med forventet afkast (middelværdi) "m" og standardafvigelse "s". Interessant nok ser vores histogram ikke normalt ud. Faktisk vil det med flere forsøg ikke være tilbøjelig til normalitet. I stedet vil det have tendens til en lognormal fordeling: et skarpt fald væk til venstre for middel og en meget skæv "lang hale" til højre for gennemsnittet. Dette fører ofte til en potentielt forvirrende dynamik for første gangs elever:

Pris

returneringer

• fordeles normalt. Pris niveauer
• er log-normalt fordelt. Tænk på det på denne måde: En aktie kan returnere op eller ned 5% eller 10%, men efter en vis periode kan aktiekursen ikke være negativ. Endvidere har prisforhøjelser på opadrettede en sammenblandende effekt, mens prisfald på downside reducerer basen: tab 10%, og du bliver mindre med at tabe næste gang. Her er et diagram over den lognormale fordeling overlejret på vores illustrerede antagelser (f.eks. Startpris på $ 10): Figur 4

Sammendrag

En Monte Carlo-simulering anvender en udvalgt model (en model, der angiver opførelsen af ​​en instrument) til et stort sæt tilfældige forsøg i et forsøg på at frembringe et sandsynligt sæt af mulige fremtidige resultater. Med hensyn til simulering af aktiekurserne er den mest almindelige model geometrisk brunisk bevægelse (GBM). GBM forudsætter, at en konstant drift ledsages af tilfældige stød. Mens periodens afkast under GBM normalt fordeles, bliver de deraf følgende prisniveauer (f.eks. Ti dage) lognormalt fordelt.

Se nærmere på David Harper's filmtutorial, Monte Carlo Simulation med Geometrisk Brownian Motion

for at lære mere om dette emne.