Det er ret udfordrende at blive enige om den nøjagtige prisfastsættelse af noget omsætteligt aktiv, selv i dag. Derfor ændres aktiekurserne konstant. I virkeligheden ændrer virksomheden næppe sin værdiansættelse dagligt, men aktiekursen og dens værdiændring ændres hvert sekund. Dette viser det vanskeligt at nå frem til enighed om nutidens pris for ethvert omsætteligt aktiv, hvilket fører til arbitrage muligheder. Imidlertid er disse arbitrage muligheder virkelig kortvarig.

Det hele koger ned til nutidens værdiansættelse - hvad er den aktuelle nuværende pris i dag for en forventet fremtidig udbetaling?

For at undgå arbitrage muligheder skal aktiver med samme udbetalingsstrukturer have samme pris på et konkurrencedygtigt marked. Værdiansættelse af optioner har været en udfordrende opgave, og der er observeret høje prisforskelle, der fører til arbitrage muligheder. Black-Scholes er fortsat en af ​​de mest populære modeller, der anvendes til prissætningsmuligheder, men har sine egne begrænsninger. (For yderligere oplysninger se: Valgpris ). Binomial option prismodel er en anden populær metode, der anvendes til prissætningsmuligheder. Denne artikel diskuterer et par omfattende trinvise eksempler og forklarer det underliggende risiko-neutrale koncept i anvendelsen af ​​denne model. (For relateret læsning, se: Nedbrydning af binomialmodellen til værdi af et valg ).

Denne artikel forudsætter brugerens fortrolighed med muligheder og relaterede begreber og vilkår.

Antag, at der findes en opkaldsopsætning på en bestemt aktie, hvis nuværende markedspris er $ 100. ATM-optionen har en stykpris på $ 100 med tiden til udløbet af et år. Der er to forhandlere, Peter og Paul, som begge er enige om, at aktiekursen enten vil stige til $ 110 eller falde til $ 90 om et års tid. De er begge enige om forventede prisniveauer inden for en given tidsramme på et år, men er uenige om sandsynligheden for opadgående bevægelse (og nedrytning). Peter mener, at sandsynligheden for aktiekursen går til $ 110 er 60%, mens Paul mener det er 40%.

På baggrund af ovenstående, hvem ville være villig til at betale mere pris for opkaldsopsætningen?

Muligvis Peter, da han forventer høj sandsynlighed for opadrettelsen.

Lad os se beregningerne for at bekræfte og forstå dette. De to aktiver, som værdiansættelsen afhænger af, er opkøbsoptionen og den underliggende aktie. Der er en aftale blandt deltagerne om, at den underliggende aktiekurs kan flytte fra nuværende $ 100 til enten $ 110 eller $ 90 på et års tid, og der er ingen andre prisbevægelser mulige.

I en arbitragefri verden, hvis vi skal oprette en portefølje bestående af disse to aktiver (call option og underliggende aktiebeholdning) sådan, at uanset hvor den underliggende pris går ($ 110 eller $ 90), er netto afkast på porteføljen altid forbliver det samme.Antag, at vi køber 'd' aktier af den underliggende og korte ene call option til at oprette denne portefølje.

Hvis prisen går til $ 110, vil vores aktier være værd $ 110 * d, og vi taber $ 10 på short call payoff. Nettoværdien af ​​vores portefølje vil være (110d - 10).

Hvis prisen går ned til $ 90, vil vores aktier være $ 90 * d, og optionen udløber værdiløs. Nettoværdien af ​​vores portefølje vil være (90d).

Hvis vi ønsker, at værdien af ​​vores portefølje forbliver den samme, uanset hvor den underliggende aktiekurs går, bør vores porteføljeværdi forblive den samme i begge tilfælde, i. e. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = ½

i. e. hvis vi køber en halv aktie (forudsat at fraktionelle køb er mulige), vil vi klare at oprette en portefølje, således at dens værdi forbliver ens i begge mulige stater inden for den givne tidsramme på et år. (punkt 1)

Denne porteføljeværdi, angivet med (90d) eller (110d -10) = 45, er et år nede på linjen. For at beregne nutidsværdien kan den diskonteres med risikofri afkast (antager 5%).

=> 90d * exp (-5% * 1 år) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => Porteføljens nutidsværdi

Siden porteføljen er der i øjeblikket en ½ andel af underliggende aktier ( med markedspris $ 100) og 1 kortopkald, skal det være lig med nutidsværdien beregnet ovenfor i. e.

=> 1/2 * 100 - 1 * Opkaldspris = 42. 85

=> Opkaldspris = $ 7. 14 i. e. Opkaldsprisen pr. i dag.

Da dette er baseret på ovenstående antagelse om, at porteføljeværdien forbliver den samme uanset hvilken vej den underliggende pris går (punkt 1 ovenfor), er sandsynligheden for op- eller nedadgående flyt ikke her nogen rolle. Porteføljen forbliver risikofri, uanset de underliggende prisbevægelser.

I begge tilfælde (antages at være op til $ 110 og ned til $ 90) er vores portefølje neutral for risikoen og tjener den risikofrie afkast.

Således vil begge handlende, Peter og Paul, være villige til at betale den samme $ 7. 14 for denne opkaldsindstilling, uanset deres egne forskellige opfattelser af sandsynlighederne for optrækninger (60% og 40%). Deres individuelt opfattede sandsynligheder spiller ikke nogen rolle i opsættelsesvurdering, som det fremgår af ovenstående eksempel.

Hvis man antager at de enkelte sandsynligheder betyder noget, ville der have eksisteret arbitrage muligheder. I virkelige verden findes sådanne arbitrage muligheder med mindre prisforskelle og forsvinder på kort sigt.

Men hvor er den meget høje volatilitet i alle disse beregninger, hvilket er en vigtig (og mest følsom) faktor, der påvirker optionsprissætning?

Volatiliteten indgår allerede i problemdefinitionens art. Husk at vi antager to (og kun to - og dermed navnet "binomial") stater om prisniveauer ($ 110 og $ 90). Volatilitet er implicit i denne antagelse og dermed automatisk inkluderet - 10% på begge måder (i dette eksempel).

Lad os nu foretage en skønhedskontrol for at se, om vores tilgang er korrekt og sammenhængende med den almindeligt anvendte Black-Scholes-prisfastsættelse. (Se: Black-Scholes Options Valuation Model ).

Her er skærmbillederne af mulighederne for beregninger af valgmuligheder (OIC), hvilket er tæt på vores beregne værdi.

Desværre er den virkelige verden ikke så simpel som "kun to stater". Der er flere prisniveauer, som kan opnås af lageret indtil tiden går ud.

Er det muligt at inkludere alle disse flere niveauer i vores binomial prismodel, der er begrænset til kun to niveauer? Ja, det er meget muligt, og for at forstå det, lad os komme ind i en simpel matematik.

Et par mellemliggende beregningstrin springes over for at holde det opsummeret og fokuseret på resultater.

Lad os generalisere dette problem og løsningen:

'X' er den aktuelle markedspris på lager og 'X * u' og 'X * d' er de fremtidige priser for op og ned ' år senere. Faktor 'u' vil være større end 1, da den indikerer bevægelse, og 'd' vil ligge mellem 0 og 1. For ovenstående eksempel, u = 1. 1 og d = 0. 9.

Udbetalingerne for opkaldsopsætning er 'P _op ' og 'P _dn ' for op og ned bevægelser på tidspunktet for udløbet.

Hvis vi bygger en portefølje af 's' aktier købt i dag og kort én opkaldsopsætning, så efter tid 't':

Værdi af portefølje i tilfælde af opadgående = s * X * u - P _op

Værdi af porteføljen i tilfælde af nedrygning = s * X * d - P _dn

Til tilsvarende værdiansættelse i begge tilfælde af prisbevægelse,

=> s * X * u - P < op _{= s * X * d - P} dn _{=> s = (P}

op _{- P} dn _{) / )) = nej. af aktier til køb for risikofri portefølje} Den fremtidige værdi af porteføljen ved udgangen af ​​'t' år vil være

I tilfælde af opadgående = s * X * u - P

op _{= (P} up _{- P} dn _{) / (X (ud)) * X * u - P} op _{Den nutidige værdi af ovenstående kan opnås ved diskontering den med risikofri afkast:}

Dette skal svare til porteføljebeholdning af 's' aktier til X-pris og kortkaldsværdi 'c' i. e. nutidens beholdning af (s * x - c) bør ligge til ovenstående. Løsningen for c giver endelig c som:

HVIS VI KORT OPTAGELSESPREMIUMET SKAL VÆRE TILFØRSEL TIL PORTFOLIO IKKE SUBTRAKTION.

En anden måde at skrive ovenstående ligning på er at omplacere det som følger:

Ved at tage q som

bliver over ligningen

Omlægning af ligningen i forhold til "q" har givet et nyt perspektiv.

"q" kan nu fortolkes som sandsynligheden for opadgående bevægelse af den underliggende (som "q" er forbundet med P

op _{og "1-q" er forbundet med P} dn _{). Samlet set repræsenterer ovenstående ligning nutidsprisen i dag. e. den diskonterede værdi af udbetalingen ved udløb.} Hvordan er denne sandsynlighed "q" forskellig fra sandsynligheden for at flytte eller flytte den underliggende bevægelse?

Værdien af ​​aktiekursen på tidspunktet t = q * X * u + (1-q) * X * d

Ved at erstatte værdien af ​​q og omlægge, kommer aktiekursen på tidspunkt t til

i . e. i denne antagede verden af ​​to stater stiger aktiekursen simpelthen ved risikofri afkast, i. e. præcis som et risikofri aktiv, og derfor forbliver det uafhængigt af enhver risiko.Alle investorer er ligeglade med risikoen under denne model, og dette udgør den risikobegrænsede model.

Sandsynlighed "q" og "(1-q)" er kendt som risiko-neutrale sandsynligheder, og værdiansættelsesmetoden er kendt som risiko-neutral værdiansættelsesmodel.

Ovenstående eksempel har et vigtigt krav - den fremtidige udbetalingsstruktur kræves med præcision (niveau $ 110 og $ 90). I virkeligheden er sådan klarhed om trinbaserede prisniveauer ikke mulig; snarere prisen bevæger sig tilfældigt og kan afregne på flere niveauer.

Lad os udvide eksemplet yderligere. Antag at to trin prisniveauer er mulige. Vi kender det andet trin endelige udbetalinger, og vi skal værdiansætte muligheden i dag (dvs. ved første skridt)

Ved at arbejde baglæns kan den mellemliggende første skedsvurdering (ved t = 1) laves ved brug af endelige udbetalinger i trin to (t = 2), og derefter ved brug af disse beregnede første trin værdiansættelse (t = 1), kan nutidsværdien (t = 0) nås ved hjælp af ovenstående beregninger.

For at få mulighed for prisfastsættelse på nr. 2, udbetalinger ved 4 og 5 anvendes. For at få priser for nr. 3, udbetalinger ved 5 og 6 anvendes. Endelig bruges beregnede udbetalinger på 2 og 3 til at få priser på nr. 1.

Vær opmærksom på, at vores eksempel antager samme faktor for op (og ned) bevæge sig i begge trin - u (og d) anvendes på sammensat måde.

Her er et fungerende eksempel med beregninger:

Antag en sætningsoption med stykpris $ 110, der for øjeblikket handler på $ 100 og udløber om et år. Årlig risikofri rente er på 5%. Prisen forventes at stige med 20% og falde med 15% hvert halve år.

Lad os strukturere problemet:

Her, u = 1. 2 og d = 0. 85, X = 100, t = 0. 5

ved hjælp af den ovenfor afledte formel på

får vi q = 0. 35802832

værdien af ​​sætningsindstillingen ved punkt 2,

Ved P

upup _{betingelse vil underliggende være = 100 * 1. 2 * 1. 2 = $ 144, der fører til P} upup _{= nul} Ved P

updn _{betingelse ligger underliggende = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102, der fører til P} updn _{= $ 8} Ved P

dndn _{betingelse vil underliggende være = 100 * 0. 85 * 0. 85 = $ 72. 25, der fører til P} dndn _{= $ 37. 75} p

2 _{= 0. 975309912 * (0 35802832 * 0 + (1-0. 35802832) * 8) = 5. 008970741} Tilsvarende p

3 > = 0. 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26. 42958924 _{Og dermed værdien af ​​sætningsoption, p} 1

= 0. 975309912 * (0 35802832 * 5, 008970741+ (1-0, 35802832) * 26. 42958924) = _{$ 18. 29.} På samme måde tillader binomialmodeller at man kan bryde hele valgvarigheden til yderligere raffinerede flere trin / niveauer. Ved hjælp af computerprogrammer eller regneark kan man arbejde baglæns et trin ad gangen for at få nutidsværdien af ​​den ønskede indstilling. Lad os konkludere med endnu et eksempel på tre trin for binomialoptimering:

Antag en sætningsoption af europæisk type, der har 9 måneder til udløb med en pris på $ 12 og den nuværende underliggende pris på $ 10. Antag en risikofri sats på 5% for alle perioder. Antag hver 3 måneder, den underliggende pris kan flytte 20% op eller ned, hvilket giver os u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 og 3 trin binomial træ.

Tallene i rødt angiver de underliggende priser, mens de i blå indikerer udbetalingen af ​​put option.

Risiko-neutralt sandsynlighed q beregnes til 0. 531446.

Beregnes de ovennævnte værdier af q og udbetalingsværdier ved t = 9 måneder, svarer de tilsvarende værdier ved t = 6 måneder som:

Yderligere ved anvendelse af disse Beregnede værdier ved t = 6, værdier ved t = 3 og derefter ved t = 0 er:

giver nutidsværdien af ​​sætoption som $ 2. 18, som er temmelig tæt på den, der beregnes ved hjælp af Black-Scholes-modellen ($ 2. 3)

Bundlinjen

Selv om brug af computerprogrammer kan gøre mange af disse intensive beregninger let, er forudsigelsen af ​​fremtidige priser fortsat en stor begrænsning af binomialmodeller til optionsprissætning. Jo finere tidsintervallerne er, desto sværere bliver det til præcist at forudsige udbetalingerne i slutningen af ​​hver periode. Men fleksibiliteten til at indarbejde ændringer som forventet på forskellige tidspunkter er et tillæg plus, hvilket gør det egnet til at prissætte de amerikanske muligheder, herunder tidlige udnyttelsesvurderinger. Værdierne, der beregnes ved hjælp af binomialmodellen, svarer nøje til dem, der beregnes fra andre almindeligt anvendte modeller som Black-Scholes, hvilket angiver anvendeligheden og nøjagtigheden af ​​binomialmodeller til valgprisfastsættelse. Binomial pricing modeller kan udvikles i henhold til en erhvervsdrivendes præference og fungerer som et alternativ til Black-Scholes.